Note di Analisi Matematica.

Sintesi ripresa da: V. Villani, Cominciamo da Zero, Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Aritmetica e Algebra), Pitagora Editrice, Bologna, 2003 e con aggiunte

1) Lo Zero appartiene all'insieme dei numeri naturali?
Si tratta di una pura questione convenzionale ma il comportamento dello zero è atipico rispetto a quello degli altri numeri:
rispetto all'addizione svolge il ruolo di elemento neutro,
rispetto alla moltiplicazione permette la validità della legge di annullamento del prodotto,
nella definizione di numero fattoriale, invece, si comporta come un intruso: n!=1x2x3x...(n-1)xn, se si iniziasse da 0 la definizione non avrebbe senso.
Queste anomalie fanno dello zero un numero particolare che solitamente non viene inserito tra i numeri naturali, anche se, secondo l'autore, la tendenza recente è di considerarlo un numero naturale.

2) Il numero 1 è un numero primo?
I matematici escludono 0 e 1 dalla lista dei numeri primi, per conservare il teorema fondamentale dell'aritmetica:
ogni numero naturale diverso da 0 e da 1 o è primo, o è il prodotto di fattori primi.
Tale decomposizione in fattori primi è unica a meno dell'ordine dei fattori. È evidente allora che se si includesse 0 o 1 tra i numeri primi, verrebbe meno l'unicità della scomposizione in fattori.
Per esempio, si avrebbe 6=1x2x3=1x1x2x3=1x1x1x2x3=...; analogamente 0=0x1=0x2=0x3=0x1x2x3=...

3) Perché meno per meno fa più?
Il motivo è che la regola dei segni scelta dai matematici è l'unica per la quale l'addizione e la moltiplicazione nell'insieme dei numeri relativi continuano a godere delle stesse proprietà formali di cui godono le omonime operazioni nell'insieme dei numeri naturali.
Per esempio, quanto deve valere il prodotto (-14)X(-6)?
Per la proprietà di annullamento del prodotto: ((-14)+(+14))X(-6)=0X(+6)=0;
per la proprietà distributiva: ((-14)+(+14))X(-6)=((-14)x(-6))+((+14)X(-6))=(-14)X(-6)+(-84).
Dalle due proprietà segue che (-14)X(-6) deve essere l'opposto di -84.

4) Quando si amplia l'insieme dei numeri naturali qual è il passaggio corretto, da N a Z e poi da Z a Q, oppure da N a Q+ e poi da Q+ a Z?
I due percorsi di ampliamento da N a Q sono equivalenti. Storicamente si è passati dai numeri interi alle frazioni e dopo alcuni millenni si è giunti ai numeri negativi. Nell'approccio moderno si preferisce passare da N a Z in modo da mettere in evidenza la struttura algebrica dei numeri interi relativi, che nell'approccio storico viene saltata.

5) Perché nelle espressioni aritmetiche le parentesi sono a volte necessarie e a volte superflue?
La risposta è dovuta al fatto che in alcuni casi eliminando le parentesi il risultato delle operazioni non è univocamente determinato. Tuttavia, perché nell'espressione 5+(3x7) le parentesi possono essere eliminate mentre nell'espressione (5+3)x7 devono essere mantenute? Si tratta di una scelta convenzionale che trova una sua giustificazione nel fatto che la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione è asimmetrica: l'espressione (5+3)x7 è equivalente a (5x7)+(3x7), il 7 compare due volte. Si coglie meglio l'efficacia di questa convenzione nel calcolo letterale, nel quale si usa scrivere a+2ab intendendo (a)+(2xaxb) e non (a+2)xaxb. La convenzione scelta permette di raggruppare ed evidenziare i monomi, nonché di scrivere nel modo più semplice la forma normale di un polinomio.

6) A quale numero corrispondono i numeri decimali periodici di periodo 9?
Contrariamente a ciò che si pensa abitualmente non c'è una perfetta corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle frazioni e l'insieme dei numeri decimali. Fanno eccezione i numeri decimali che hanno come periodo 9. Passando dalle frazioni ai numeri decimali non si trova mai un caso di questo tipo, in altre parole, non c'è nessuna frazione che origina un numero decimale con periodo 9. Viceversa, la regola di trasformazione dai numeri decimali alle frazioni vale anche in questo caso. Per esempio, 14,7(9) - il 9 è periodico - genera la frazione 1332/90 che a sua volta genera il numero decimale 14,78. Ciò fa pensare che 17,7(9) e 17,8 siano lo stesso numero; effettivamente, si dimostra che è così.

7) Perché le operazioni con i numeri decimali sono difficili?
Ci sono diversi casi in cui si fa fatica a operare con i numeri decimali. Per esempio alla domanda: Due spaghi sono lunghi il primo 1,27 m e il secondo 1,8 m. Qual è lo spago più lungo?
Sul piano linguistico uno e ventisette è più lungo di uno e otto, perciò a volte si è portati a dire che 1,27 è maggiore di 1,8. D'altra parte, quando si esprime il tempo "il treno delle otto e cinque parte prima di quello delle otto e ventitre".
Un altro esempio difficile è il seguente: Qual è il doppio di 1,7 m? Spesso si ha come risposta 2,14. Dal punto di vista matematico, questi fraintendimenti nascono dal considerare i numeri decimali come coppie di numeri, perciò (1;27) sembra maggiore di (1;8); analogamente, il doppio di (1;7) sembra essere (2;14). Per evitare questi fraintendimenti nell'uso comune delle frazioni, le regole di scrittura delle somme in euro devono essere obbligatoriamente fatte con due cifre decimali. Pertanto si scriverà 1,27 e 1,80, da cui risulta evidente che la seconda somma è maggiore della prima; si scriverà anche 1,70 (invece di 1,7) per cui sarà più semplice calcolare il doppio.

8) Come si approssima un numero reale?
Le espressioni linguistiche che si usano per indicare l'approssimazione di numeri sono diverse. Una scrittura del tipo r=6,4537... significa che del numero r sono note la parte intera e le prime quattro cifre decimali; i puntini di sospensione indicano che il numero prosegue con cifre decimali che non sono esplicitate. In altre parole, il numero r è compreso tra 6,4537 e 6,4538. In questo caso si dice che sono note quattro cifre esatte del numero r. Se di un numero reale r si conosce un valore approssimato a e si sa che il valore vero di r è compreso tra si dice che il numero r è conosciuto con un errore assoluto delta a (si usa anche dire che il numero è noto con una precisione delta a). Se di un numero sono note una quantità eccessiva di cifre decimali esatte rispetto all'uso che se ne intende fare (per esempio, del numero pi greco sono note miliardi di cifre ma molto spesso nei calcoli è sufficiente considerarne due o tre). I metodi per ridurre il numero di cifre decimali sono essenzialmente due. Il troncamento consiste nell'eliminare le cifre che non interessano. L'arrotondamento consiste invece nello scegliere, tra i numeri che hanno la quantità voluta di cifre decimali, quello che meglio approssima il numero: si deve controllare la prima cifra decimale da omettere, se essa è 0 o 1 o 2 o 3 o 4 il valore arrotondato coincide con il valore troncato; se essa è 5 o 6 o 7 o 8 o 9 il valore arrotondato si ottiene dal valore troncato aumentando di un'unità la sua ultima cifra decimale.

9) Cosa afferma il teorema di identità dei polinomi?
Una formulazione abbastanza comune del teorema di identità dei polinomi afferma: due polinomi sono formalmente uguali se e solo se sono funzionalmente uguali. A una lettura superficiale, questo teorema può sembrare una banalità. Invece non lo è: il teorema di identità dei polinomi mette in evidenza un legame estremamente importante e per nulla banale tra Algebra e Analisi. Dal punto di vista algebrico, due polinomi A(x) e B(x) si dicono formalmente uguali se e solo se hanno lo stesso grado e, scritti in forma normale, i coefficienti dello stesso grado sono tutti uguali. Dal punto di vista analitico, i due polinomi si dicono funzionalmente uguali se e solo se individuano la stessa funzione, ossia A(k)=B(k) per ogni valore di k appartenente al dominio delle funzioni polinomiali. Il teorema afferma, allora, che se due polinomi sono uguali dal punto di vista algebrico lo sono anche da quello analitico. Si comprende meglio il teorema se si fanno alcuni esempi in cui esso non è valido. Per esempio, sin2x e 1-cos2x sono formalmente diversi ma funzionalmente uguali.


10) Ogni teoria matematica consta essenzialmente di POSTULATI e di TEOREMI, perché sono usati tanti termini come POSTULATO, ASSIOMA, PRINCIPIO, TEOREMA, LEMMA, COROLLARIO, PROPOSIZIONE, LEGGE, REGOLA, PROPRIETÀ, CRITERIO?
Le ragioni sono di due ordini: da una parte l'evoluzione storica del linguaggio matematico dall'altra considerazioni di opportunità didattica (non sempre condivisibili).
POSTULATO E ASSIOMA sono oggi dei sinonimi.
Euclide aveva usato il termine ASSIOMA per indicare nozioni comuni non collegate strettamente con la matematica (il tutto è maggiore della parte) e aveva usato POSTULATO per indicare proprietà matematiche da assumere come vere. Gli studi sui fondamenti della matematica, già nell'Ottocento avevano messo in evidenza l'inconsistenza teorica di questa distinzione. Nel seguito i matematici hanno adottato indifferentemente l'uno o l'altro termine. Per esempio, Peano usa il termine postulati mentre Hilbert il termine assiomi.

TEOREMA, LEMMA, COROLLARIO, PROPOSIZIONE, LEGGE, REGOLA, PROPRIETÀ E CRITERIO sono invece tutti sinonimi.
Si riserva il termine
TEOREMA agli enunciati più importanti; a un numero ristretto di teoremi di una teoria si usa dare la qualifica di teorema fondamentale (teorema fondamentale dell'aritmetica, teorema fondamentale dell'algebra, teorema fondamentale del calcolo integrale, ...)
LEMMA indica un teorema poco significativo di per se stesso ma utile per dedurre un teorema importante.
COROLLARIO indica un teorema facilmente ottenibile come conseguenza di un altro teorema.
PROPOSIZIONE è del tutto simile a teorema e si usa per indicare una qualsiasi affermazione dimostrabile della matematica, nella logica indica una frase della quale sia possibile stabilire se è vera o falsa.


LEGGE, REGOLA E PROPRIETÀ indicano teoremi di natura algoritmica-calcolativa (regola di Ruffini, regola di Cartesio, legge di annullamento del prodotto, proprietà del permutare, ...) Questi ultimi termini sono usati anche con significati diversi da quello di teorema. Per esempio, la LEGGE EMPIRICA del caso indica fatti osservabili sperimentalmente. La REGOLA DEI SEGNI è invece una definizione; anche le PROPRIETÀ associativa, commutativa e distributiva sono definizioni.
Il termine CRITERIO indica solitamente una condizione necessaria e sufficiente (criterio di uguaglianza dei triangoli) anche se il criterio del rapporto per la convergenza di una serie è una condizione solo sufficiente.
Il termine PRINCIPIO è usato a volte come sinonimo di ASSIOMA (principio del terzo escluso), a volte come sinonimo di TEOREMA (principio di identità dei polinomi).
Il PRINCIPIO DI INDUZIONE ha invece una posizione dubbia, alcuni lo identificano con uno dei postulati di Peano, altri invece come teorema che discende da quel postulato.
Ci sono diversi situazioni matematiche che sono state dimostrate empiricamente ma mai analiticamente. Eccome qualcuna:
a) Congettura di Goldbach:per ogni numero pari n maggiore a 2 esistono due numeri primi (non necessariamente distinti) p e q tali che n=p+q (Una casa editrice inglese a messo in palio 1000000$ a chi lo dimostra nei prossimi 2 anni)
b) Congettura dei numeri dispari: per ogni numero dispari n maggiore di 5 esistono tre numeri primi (non necessariamente distinti) p, q, r tali che n=p+q+r. La ricerca attuale sui numeri primi ha risolto il problema con Chene Wang nel 1989.
c) Congettura di Chen: Ogni numero dispari è scrivibile per differenza di due numeri primi:per ogni numero dispari n, esistono due numeri primi p e q tali che n=p-q.  d) Congettura dei numeri primi gemelli: Esistono infiniti numeri primi gemelli.
e) Congettura di Polignac: ogni numero pari è ottenibile come differenza di infinite coppie di numeri primi consecutivi:per ogni n pari, esistono infiniti numeri primi consecutivi p e q tali che n=p-q. Questa congettura elaborata nel 1849, è una generalizzazione della congettura dei primi gemelli che si ottiene ponendo n=2.
f) Teorema fondamentale dell'aritmetica: ogni numero naturale positivo n è primo e composto. E i numeri primi sono infiniti (Euclide 300 a.c.).
mar 2000:Record mondiale di velocità in trasmissione dei dati in USA: 3280*109 bit/s=381,84 GB/s usando la fibra ottica, 82 frequenze e per 300 Km.